Câu hỏi 9 - Mục Bài tập trang 121

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).

2. Phương pháp giải

Nếu d,d' cắt nhau nằm trong (P) và d, d'//(Q) thì  (P)//(Q).

3. Lời giải chi tiết

Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);

          (ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;

          (CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.

Do đó A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).

Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);

                (ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;

                (DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.

Do đó MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).

Ta có: A’D // (B’CM);

          DN // (B’CM);

          A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

Do đó (A’DN) // (B’CM).

1. Nội dung câu hỏi

Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng $D^{\prime} B$ với các mặt phẳng $\left(A^{\prime} D N\right),\left(B^{\prime} C M\right)$. Chứng minh rằng $D^{\prime} E=B F=\frac{1}{2} E F$.

2. Phương pháp giải

Nếu d,d' cắt nhau nằm trong (P) và d, d'//(Q) thì  (P)//(Q).

3. Lời giải chi tiết

• Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).

Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).

• Ta có: (A’DN) // (B’CM);

             (A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;

             (B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.

Do đó DJ // B’I.

Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{B I}{B D}=\frac{B F}{B E}$ (1)

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$, hai đường trung tuyến $\mathrm{BO}, \mathrm{CM}$ cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác
Suy ra $\frac{B I}{B O}=\frac{2}{3}$ hay $\frac{B I}{\frac{1}{2} B D}=\frac{2 B I}{B D}=\frac{2}{3}$
Do đó $\frac{B I}{B D}=\frac{1}{3}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{B F}{B E}=\frac{1}{3}$
Suy ra $\frac{B F}{B E-B F}=\frac{1}{3-1}$ hay $\frac{B F}{E F}=\frac{1}{2}$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{D^{\prime} E}{D^{\prime} F}=\frac{D^{\prime} J}{D^{\prime} B^{\prime}}=\frac{1}{3}$
Suy ra $\frac{D^{\prime} E}{D^{\prime} F-D^{\prime} E}=\frac{1}{3-1}$ hay $\frac{D^{\prime} E}{E F}=\frac{1}{2}$
Do đó $\frac{B F}{E F}=\frac{D^{\prime} E}{E F}=\frac{1}{2}$ nên $\mathrm{BF}=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{E}=\frac{1}{2} \mathrm{EF}$.