Câu hỏi mục 4 trang 56, 57

Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) và cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có hình chiếu vuông góc \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\)trên \(\Delta \)(hình 9).

a)  Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương và tìm tọa độ của chúng

b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \).

Chứng minh rằng \(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)

c) Giải thích công thức \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Phương pháp giải:

a) So sánh phương với vectơ chỉ phương

b)  Bước 1: Nhân tích vô hướng của hai vectơ

     Bước 2: Thay tọa độ điẻm H vào đường thẳng tìm mối liên hệ

c) Thay vào công thức kết quả đã tìm được ở câu b)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Mà H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\Delta \) nên \(H{M_0} \bot \Delta \)

Mặt khác vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) cùng vuông góc với \(\Delta \)

Suy ra \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương (đpcm)

b) Ta có: \(\overrightarrow n  = (a;b)\) và \(\overrightarrow {H{M_0}}  = \left( {{x_0} - {x_H};{y_0} - {y_H}} \right)\)

Suy ra \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  = a\left( {{x_0} - {x_H}} \right) + b\left( {{y_0} - {y_H}} \right) = a{x_0} + b{y_0} - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)                (1)

Mà H  thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Thay tọa độ điểm H vào phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) ta có:

\(a{x_H} + b{y_H} + c = 0 \Leftrightarrow c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\)

Thay \(c =  - \left( {a{x_H} + b{y_H}} \right)\) vào (1) ta có

\(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)       (đpcm)

c) Ta có: \(p = \overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {H{M_0}}  = \frac{p}{{\overrightarrow n }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\frac{p}{{\overrightarrow n }}} \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là \(A(1;1),B(5;2),C(4;4)\). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng AB, AC, BC

Bước 2: Đường của kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (tương tự các đường cao còn lại)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)

+) Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 4} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:

\(\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ C chính là khoảng cách từ điểm C  đến đường thẳng AB

\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {4 - 4.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{9\sqrt {17} }}{{17}}\)

+) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B(5;2)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

\(2\left( {x - 5} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 12 = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A  đến đường thẳng BC

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

+) Đường thẳng AC  nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right)\)làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\), suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng AC  là:

\(\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Độ dài đường cao kẻ từ B chính là khoảng cách từ điểm B  đến đường thẳng AC

\(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {5 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:4x - 3y + 2 = 0\) và \({d_2}:4x - 3y + 12 = 0\)

Phương pháp giải:

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại

Lời giải chi tiết:

Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia

Chọn điểm \(A\left( {0;4} \right) \in {d_2}\), suy ra \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {A,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.4 + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:4x - 3y + 2 = 0\) và \({d_2}:4x - 3y + 12 = 0\) là 2