Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 6 - Chương 1 - Hình học 8.

Đề bài

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC. Vẽ đường cao AH. Chứng minh: 

a) A và H đối xứng nhau qua DE.

b) Tứ giác DEFH là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta AHB\) vuông tại H có HD là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\( \Rightarrow HD = AD=\dfrac{AB}2\)

Suy ra D thuộc đường trung trực của AH

\(\Delta AHC\) vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HE = AE=\dfrac{AC}2\)

Suy ra E thuộc đường trung trực của AH

Do đó DE là đường trung trực của AH

Vậy A và H đối xứng nhau qua DE.

b) Vì D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC

Nên DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(DE//BC.\)

Và DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(DF//AC,\)\(DF = \dfrac{1 }{ 2}AC.\)

Vì \(DE//BC\) (cmt) nên tứ giác DEFH là hình thang. 

Lại có \(HE = \dfrac{1 }{ 2}AC \) (cmt)

\(\Rightarrow DF = HE\left( { = \dfrac{1 }{ 2}AC} \right)\)

Vậy tứ giác DEFH là hình thang cân.