Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn : \(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)\(\,\,\,\left( {a \ge 0;\,a \ne 1} \right)\) 

Bài 2. Chứng minh rằng : \(x = {{\left( {5\sqrt 3  + \sqrt {50} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right)} \over {\sqrt {75}  - 5\sqrt 2 }}\) có giá trị là số nguyên.

Bài 3. Tìm x, biết : \(\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {1 - {{\sqrt x  + 2} \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right) > 0\,\left( * \right)\) 

LG bài 1

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn, sử dụng \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)

\(\eqalign{  &  = \left( {{{{1^3} - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}  \cr  &  = \left( {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}  \cr  &  = \left( {1 + 2\sqrt a  + a} \right).{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}} \over {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} \cr} \) 

\(\begin{array}{l}
= {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.\frac{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}\\
= 1
\end{array}\)

LG bài 2

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\frac{m}{{\sqrt A  \pm \sqrt B }} = \frac{{m\left( {\sqrt A  \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\left( {A,B \ge 0;A \ne B} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {50} }}{{\sqrt {75} - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {{5^2}.2} }}{{\sqrt {{5^2}.3} - 5\sqrt 2 }}\\
= \frac{{5\sqrt 3 + 5\sqrt 2 }}{{5\sqrt 3 - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{5\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{3 + 2\sqrt 6 + 2}}{1} = 5 + 2\sqrt 6 
\end{array}\)

Vậy \(x = \left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= \left( {5 + \sqrt {24} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= 25 - 24 = 1\)

Vậy \(x = 1\) là số nguyên.

LG bài 3

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn vế trái.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x ≥ 0\).

Ta có: 

\(\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {1 - {{\sqrt x  + 2} \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right) > 0\)

\(\eqalign{  & \Leftrightarrow {{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 1} \over {\sqrt x  + 1}}.{{x + \sqrt x  + 1 - \sqrt x  - 2} \over {x + \sqrt x  + 1}} > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  + 1}}.{{x - 1} \over {x + \sqrt x  + 1}} > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 1)} \over {\sqrt x  + 1}}>0\cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 > 0  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  > 1 \cr} \)

\(\;\;⇔ x > 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x ≥ 0\))

Vậy \(x > 1\).