Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 11 - Chương 1 - Hình học 8.

Đề bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD và BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh tứ giác MINK là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat C\) )

\(\widehat {AMN} = \widehat {BMD}\)(đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\)

Gọi O là giao điểm của AK và BN ta có: 

\(\widehat {OAB} + \widehat {ABO} = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \widehat {ABO}\)

\( = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \left( {\widehat {ABD} - \widehat {{B_1}}} \right)\)

\( = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \widehat {ABD} - \widehat {{B_1}} \)

\(= \widehat {BAD} + \widehat {ABD}\) (Vì \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) cmt)

\( = {90^ \circ }\) (vì \(\widehat {ADB} = {90^ \circ }\) )

Xét \(\Delta AOB\)

\(\Rightarrow \widehat {AOB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {OAB} + \widehat {ABO}} \right)\)\(\; = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }\)

Chứng tỏ \(AK \bot BM\) hay \(IK \bot MN\)  (1)

 \(\Delta MAN\) có AO là đường cao (cmt) đồng thời là phân giác (gt) \( \Rightarrow OM = ON.\) Tương tự với \(\Delta BIK\) ta có OI = OK. Vậy tứ giác MINK là hình bình hành, kết hợp với (1) ta có MINK là hình thoi.