Bài 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d.

3. Lời giải chi tiết

Ta đặt f là phép chiếu vuông góc lên d.

Vì A, B là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C) nên \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( A \right),{\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( B \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Lấy điểm M ∈ (C) sao cho M ≠ A và M ≠ B.

Kẻ \(MM' \bot d\)  tại M’.

Khi đó ta có \(M' = {\rm{ }}f\left( M \right).\)

Mà AB là đường kính của đường tròn (C) nên M’ nằm trên đoạn thẳng AB.

Tương tự như vậy, mỗi điểm N bất kì di động trên đường tròn (C) sao cho N ≠ A và N ≠ B thì ảnh N’ của N qua f đều nằm trên đoạn thẳng AB (2)

Từ (1), (2), ta thu được ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d là đoạn thẳng AB hay \(f\left( {\left( C \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)