Giải bài 1 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

a) Tìm tâm sai và bán kính qua tiêu của điểm \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm \(N(x;y) \in (H)\) sao cho \(N{F_1} = 2N{F_2}\) với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(a = 12,b = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 13;e = \frac{c}{a} = \frac{{13}}{{12}}\)

Bán kính qua tiêu của \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) là \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| = \left| {12 + \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{313}}{{12}},\;M{F_2} = \left| {a - ex} \right| = \left| {12 - \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{25}}{{12}}.\)

b) Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{144}}{{13}} = 0\)

Ứng với tiêu điểm \({F_2}(13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{144}}{{13}} = 0\)

c) Để \(N{F_1} = 2N{F_2} \Leftrightarrow \left| {a + e{x_N}} \right| = 2\left| {a - e{x_N}} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + e{x_N} = 2\left( {a - e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{a}{{3e}} = \frac{{48}}{{13}} < a\;(L)\\a + e{x_N} =  - 2\left( {a - e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{{3a}}{e} = \frac{{432}}{{13}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_N} =  \pm \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}\end{array}\)

Vậy \(N\left( {\frac{{432}}{{13}};\frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\) hoặc \(N\left( {\frac{{432}}{{13}}; - \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\)