Bài 11 trang 26 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hai phân thức \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) , \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Lời giải chi tiết

+) \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\)

\( \displaystyle = {{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} \)

\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]}^2}}}\)

\( \displaystyle = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x +1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)

\(\displaystyle = \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}= {1 \over {x + 1}}\)

+) \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} \)

\(\displaystyle = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \)

\(\displaystyle = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\)

Vậy cặp phân thức cần tìm là \(\displaystyle {1 \over {x + 1}}\) và \(\displaystyle {{5x} \over {x + 1}}\).