Bài 114 trang 94 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\, AC = 4\,cm,\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC.\) Gọi \(D,\, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,\, AC.\)

a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.

b) Điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì đoạn thẳng \(DE\) có độ dài nhỏ nhất ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các tính chất sau:

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là trung tuyến.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(ADME\) ta có:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(MD ⊥ AB\) (gt)

\( \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0}\)

Lại có \(ME ⊥ AC\) (gt)

\( \Rightarrow \widehat {AEM} = {90^0}\)

Suy ra: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

\(∆ ABC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow AB=AC=4cm,\widehat B = {45^0}\)

Suy ra: \(∆ DBM\) vuông cân tại \(D\) \(⇒ DM = DB\)

Chu vi hình chữ nhật \(ADME\) bằng :

\(2(AD + DM)\) \(= 2 ( AD + DB)\) \(= 2 AB = 2.4 = 8\) \((cm)\)

b) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)

Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

Suy ra \(AH ⊥ BC\)

Do đó, \(AM ≥ AH\) ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên ) (dấu “=” xảy ra khi \(M\) trùng với \(H\))

Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật

\(⇒ AM = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: \(DE ≥ AH\)

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi điểm \(M\) là trung điểm của \(BC.\)