Bài 122 trang 95 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(D,\, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\, AC.\)

a. Chứng minh rằng \(AH = DE.\)

b. Gọi \(I\) là trung điểm của \(HB,\, K\) là trung điểm của \(HC.\) Chứng minh rằng \(DI // EK\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Lời giải chi tiết

a. Xét tứ giác \(ADHE:\)

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))

\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))

Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

\(⇒ AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

b. \(∆ BHD\) vuông tại \(D\) có \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BH\)

\(⇒ DI = IB\) \(= \dfrac{1}{2} BH\) (tính chất tam giác vuông)

\(⇒ ∆ IDB\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{180}^0} - 2\widehat B} \) (1)

\(∆ HEC\) vuông tại \(E\) có \(EK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(HC\)

\(⇒ EK = KH = \dfrac{1}{2}HC\) (tính chất tam giác vuông)

\(⇒ ∆ KHE\) cân tại \(K\) \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{180}^0} - 2\widehat {KHE}}\) (2)

Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật

\(⇒ HE // AD\) hay \(HE // AB\)

\( ⇒\) \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (hai góc đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(⇒ DI // EK\)