Bài 126 trang 96 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(M\) di chuyển trên cạnh \(BC.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Điểm \(I\) di chuyển trên đường nào \(?\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h.\)

Lời giải chi tiết

Kẻ \(AH ⊥ BC,\) \(IK ⊥ BC\)

\(⇒ AH // IK\)

Trong tam giác \(AHM\) ta có:

\(AI = IM\;\; (gt)\)

\(IK // AH\) (chứng minh trên)

Nên \(K\) là trung điểm của HM (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

Suy ra: \(IK\) là đường trung bình của \(∆ AHM\)

\(⇒ IK = \displaystyle {1 \over 2}AH\)

\(∆ ABC\) cố định nên \(AH\) không thay đổi \(⇒ IK = \displaystyle {1 \over 2}AH\) không đổi.

\(I\) thay đổi cách \(BC\) một khoảng bằng \(\displaystyle {{AH} \over 2}\) không đổi nên \(I\) nằm trên đường thẳng song song với \(BC,\) cách \(BC\) một khoảng bằng\(\displaystyle {{AH} \over 2}\).

Khi \(M\) trùng với điểm \(B\) thì \(I\) trùng với \(P\) là trung điểm của \(AB.\)

Khi \(M\) trùng với điểm \(C\) thì \(I\) trùng với \(Q\) là trung điểm của \(AC.\)

Vậy khi \(M\) chuyển động trên cạnh \(BC\) của \(∆ ABC\) thì trung điểm \(I\) của \(AM\) chuyển động trên đường trung bình \(PQ\) của \(∆ ABC.\)