Cho tứ diện ABCD. Gọi $h_{A}, h_{B}, h_{C}, h_{D}$ lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:r $\frac{1}{h_{A}} + \frac{1}{h_{B}} + \frac{1}{h_{C}} + \frac{1}{h_{D}} = \frac{1}{r}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện nhỏ có đỉnh là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện và đáy là các mặt của tứ diện.

- Tính tỉ số thể tích mỗi khối tứ diện so với thể tích khối tứ diện ABCD và cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện.

Ta có D.r $V_{I . B C D} = \frac{1}{3} S_{B C D} . r$ ; $V_{I . C D A} = \frac{1}{3} S_{C D A} . r$ ; $V_{I . D A B} = \frac{1}{3} S_{D A B} . r$ ; $V_{I . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . r$

$V = V_{I B C D} + V_{I C D A} + V_{I D A B} + V_{I A B C}$

$\Rightarrow \frac{V}{V} = \frac{V_{I B C D} + V_{I C D A} + V_{I D A B} + V_{I A B C}}{V}$

$\Rightarrow 1 = \frac{V_{I B C D}}{V} + \frac{V_{I C D A}}{V} + \frac{V_{I D A B}}{V} + \frac{V_{I A B C}}{V}$

$= \frac{\frac{1}{3} r S_{B C D}}{\frac{1}{3} h_{A} S_{B C D}} + \frac{\frac{1}{3} r S_{C D A}}{\frac{1}{3} h_{B} S_{C D A}}$ $+ \frac{\frac{1}{3} r S_{D A B}}{\frac{1}{3} h_{C} S_{D A B}} + \frac{\frac{1}{3} r S_{A B C}}{\frac{1}{3} h_{D} S_{A B C}}$

$= r (\frac{1}{h_{A}} + \frac{1}{h_{B}} + \frac{1}{h_{C}} + \frac{1}{h_{D}})$

$\Rightarrow 1 = r (\frac{1}{h_{A}} + \frac{1}{h_{B}} + \frac{1}{h_{C}} + \frac{1}{h_{D}})$

$\Rightarrow \frac{1}{r} = \frac{1}{h_{A}} + \frac{1}{h_{B}} + \frac{1}{h_{C}} + \frac{1}{h_{D}}$ (đpcm).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Câu hỏi trắc nghiệm chương I. Khối đa diện

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024