Bài 14 trang 30 sách bài tập toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(F =  - x + y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le 2}\\{ - x + 2y \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là:

A. \(0\)                             B. 1                        C. 2                       D. 3

Lời giải chi tiết

Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le 2}\\{ - x + 2y \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) sao cho biểu thức \(F =  - x + y\) đạt giá trị nhỏ nhất

Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

Ta có ba đường thẳng: \({d_1}: - 2x + y = 2;{d_2}: - x + 2y = 4\) và \({d_3}:x + y = 5\)

+) Lấy \(O\left( {0;0} \right)\) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.

+) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.

+) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d₃.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:

Tại A(0;2), với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.

Tại B(1;4), với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.

Tại C(2;3), với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 tại x = 2 và y = 3.

Chọn B