Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến mặt bên (SAB) bằng $\frac{a}{4}$ . Thể tích của hình chóp bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{24} a^{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{16} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng hình chiếu của trọng tâm tam giác ABC trên mặt phẳng (SAB).

- Tính chiều cao và diện tích đáy của hình chóp.

- Tính thể tích theo công thức $V = \frac{1}{3} S h$ .

Lời giải chi tiết

Gọi N là trung điểm của AB, O là trọng tâm tam giác ABC, P là hình chiếu của O lên AN.

Dễ thấy S $S O ⊥ (A B C) \Rightarrow S O ⊥ A B$ , mà AB⊥CN nên AB⊥(SNC)⇒AB⊥O.

Lại có OP⊥SN nên OP⊥(SAB) hay $d (O, (S A B)) = O P = \frac{a}{4}$ .

Ta có: $C N = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow O N = \frac{1}{3} C N = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Tam giác SON vuông tại O có $\frac{1}{O P^{2}} = \frac{1}{O N^{2}} + \frac{1}{S O^{2}}$ $\Rightarrow \frac{16}{a^{2}} = \frac{36}{3 a^{2}} + \frac{1}{S O^{2}} \Rightarrow S O = \frac{a}{2}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Thể tích khôi chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C}$ $= \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$ .

Chọn A.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024