- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).

- Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

\(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)

\(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)

\(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

\(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Lời giải chi tiết

Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\)

Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

\(=3+\sqrt{3}\)

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge \dfrac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).

Cách trắc nghiệm:

Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024