Bài 1.63 trang 37 SBT giải tích 12

Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của \(m\).

Phương pháp giải:

- Biến đổi hàm số về phương trình ẩn \(m\) với tham số là \(x,y\).

- Cho các hệ số của \(m\) và hệ số tự do bằng \(0\) rồi tìm \(x,y\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} - 4x + m\\
\Leftrightarrow y - {x^3} + m{x^2} + 4{x^2} + 4x - m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m{x^2} - m} \right) + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với mọi \(m\) khi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y =  - 7\\x =  - 1;y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \(\left( {1; - 7} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right).\)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

Phương pháp giải:

Hàm số đa thức bậc ba luôn có cực trị nếu \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với \(\forall m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\); \(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\forall m\)

Do dó phương trình \(y' = 0\) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó).

Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi \(m = 0\)

Phương pháp giải:

Khảo sát tóm tắt:

+ Thay \(m = 0\) vào hàm số đã cho.

+ Tính \(y'\).

+ Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 0\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

Có \(y' = 3{x^2} - 8x - 4\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3};\frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{4 - 2\sqrt 7 }}{3}\), đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{4 + 2\sqrt 7 }}{3}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Xác định \(k\) để (C) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm đặc biệt.

- Từ đó suy ra điều kiện của \(k\).

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 0\) ta có:\(y = {x^3}-4{x^2}-4x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3}-4{x^2}-4x = kx\) (2)

Đường thẳng \(y = kx\) cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.

Có

\(\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - 4x - kx = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} - \left( {k + 4} \right)x = 0
\end{array}\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right) = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 4 + k + 4 > 0\\
{0^2} - 4.0 - \left( {k + 4} \right) \ne 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + 8 > 0\\-k -4\ne  0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k >  - 8\\k \ne  - 4\end{array} \right.\).

Vậy với \(k >  - 8\) và \(k \ne  - 4\) thì \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.