Bài 1.67 trang 38 SBT giải tích 12

Xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Biện luận theo \(m\) dấu của \(y'\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3m}}{2}} \right\}\)

\(y' = \dfrac{{ - 2x - 3m - 2(4 - x)}}{{{{(2x + 3m)}^2}}} = \dfrac{{ - 3m - 8}}{{{{(2x + 3m)}^2}}}\)

+) Nếu \(m <  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' > 0\) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m >  - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' < 0\) suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m =  - \dfrac{8}{3}\) thì \(y =  - \dfrac{1}{2}\) khi \(x \ne 4\) là hàm hằng.

Chứng minh rằng với mọi \(m\), tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm  \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Sử dụng định nghĩa: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{4}{x} - 1}}{{2 + \dfrac{{3m}}{x}}} =  - \dfrac{1}{2}\)

Nên với mọi \(m\), đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) là tiệm cận ngang và luôn đi qua \(B\left( { - \dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

Biện luận theo \(m\) số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Biện luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình vừa xét.

Lời giải chi tiết:

Số giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x\)

Ta có: \(\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x\) \( \Leftrightarrow 4 - x = 2{x^2} + 3mx\) với \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + (3m + 1)x - 4 = 0\) với \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\)

Do \(x \ne  - \dfrac{{3m}}{2}\) nên \(x =  - \dfrac{{3m}}{2}\) không nghiệm đúng phương trình.

Hay \(2.{\left( { - \dfrac{{3m}}{2}} \right)^2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4\)\( = \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{9{m^2}}}{2} - \dfrac{{3m}}{2} - 4 \ne 0\) \( \Rightarrow m \ne  - \dfrac{8}{3}\)

Như vậy, để \(x =  - \dfrac{{3m}}{2}\) không là nghiệm của phương trình  (*), ta phải có \(m \ne  - \dfrac{8}{3}\).

Ta có: \(\Delta  = {(3m + 1)^2} + 32 > 0,\forall m\).

Từ đó suy ra với \(m \ne  - \dfrac{8}{3}\) đường thẳng \(y = x\) luôn cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}\).

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục \(Ox\).

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục \(Ox\) và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} \ge 0}\\{ - \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}},khi\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}} < 0}\end{array}} \right.\)

Trước hết, ta vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}\).

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\).

Vì \(y' = \dfrac{{ - 11}}{{{{(2x + 3)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne  - \dfrac{3}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right);\left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x =  - \dfrac{3}{2}\), tiệm cận ngang \(y =  - \dfrac{1}{2}\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right),(4;0)\).

Để vẽ đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = \left| {\dfrac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\), ta giữ nguyên phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.