Bài 1.83 trang 41 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình $3x^5+15x-8=0$ chỉ có một nghiệm thực.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ.

- Chứng tỏ phương trình có nghiệm, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Hàm số $f\left(x\right)=3x^5+15x-8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R$R$.

Có $y^{\prime }=15x^4+5>0,\forall x\in R$  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.

Mà$f\left(0\right)=-8<0,f\left(1\right)=10>0$$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0$ nên tồn tại ít nhất một số $x_0\in (0;1)$) sao cho $f\left(x_0\right)=0$, tức là phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm.

Mà hàm số đồng biến trên R nên điểm này là duy nhất.

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất (đpcm).

Cách khác:

Hàm số $f\left(x\right)=3x^5+15x-8$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R$R$.

Có $y^{\prime }=15x^4+5>0,\forall x\in R$  nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên R$R$.

Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(3x^5+15x-8\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{lim}\left[x^5\left(3+\frac{15}{x^4}-\frac{8}{x^5}\right)\right]=-\infty \\ \underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(3x^5+15x-8\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x^5\left(3+\frac{15}{x^4}-\frac{8}{x^5}\right)\right]=+\infty \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy đường thẳng y=0 luôn cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại duy nhất 1 điểm hay pt đã cho có nghiệm duy nhất.