Bài 19 trang 123 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn, B là tiếp điểm. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với OA tại H, BH cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC là tam giác cân.

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

b) Vận dụng kiến thức : Nếu đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh \(HB = HC\) : Dây \(BC\) không đi qua tâm \(O,\) đường kính chứa \(AO\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\) nên \(BH = HC.\)

Tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao và cũng là đường trung tuyến nên tam giác \(ABC\) là tam giác cân.

b) Tam giác \(OBC\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}{\rm{                   }}\left( 1 \right)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}{\rm{                          }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {OBC} + \widehat {ABC} = \widehat {OCB} + \widehat {ACB}\) , tức là \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO}\)

Do \(\widehat {ABO} = {90^o}\) (vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên \(\widehat {ACO} = {90^o}.\)

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(1\) điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính nên \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)