1. Nội dung câu hỏi
Cho \(\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right)\);
b) \(\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\);
c) \(\cos \left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
d) \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right)\).
2. Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính:
a) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
b) \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }},\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
c) \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
d) \(\tan \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\)
3. Lời giải chi tiết
Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\)
Do đó, \(\sin \alpha \) \( = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \) \( = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{ - 60}}{{61}}\)
a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) \) \( = \sin \frac{\pi }{6}\cos \alpha - \cos \frac{\pi }{6}\sin \alpha \) \( = \frac{1}{2}.\frac{{11}}{{61}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{ - 60}}{{61}} \) \( = \frac{{11 + 60\sqrt 3 }}{{122}}\);
b) Ta có: \(\tan \alpha \) \( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \) \( = \frac{{\frac{{ - 60}}{{61}}}}{{\frac{{11}}{{61}}}} \) \( = \frac{{ - 60}}{{11}}\)
\(\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{1}{{\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)}} \) \( = \frac{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}}{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}} \) \( = \frac{{1 - \left( {\frac{{ - 60}}{{11}}} \right).1}}{{\left( {\frac{{ - 60}}{{11}}} \right) + 1}} \) \( = \frac{{ - 71}}{{49}}\);
c) Ta có: \(\cos 2\alpha \) \( = 2{\cos ^2}\alpha - 1 \) \( = 2.{\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)^2} - 1 \) \( = \frac{{ - 3479}}{{3721}}\), \(\sin 2\alpha \) \( = 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = 2.\frac{{11}}{{61}}.\frac{{ - 60}}{{61}} \) \( = \frac{{ - 1320}}{{3721}}\)
\(\cos \left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) \) \( = \cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3} \) \( = \frac{{ - 3479}}{{3721}}.\frac{1}{2} - \frac{{ - 1320}}{{3721}}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( = \frac{{ - 3479 + 1320\sqrt 3 }}{{7442}}\)
d) Ta có: \(\tan 2\alpha \) \( = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} \) \( = \frac{{\frac{{ - 1320}}{{3721}}}}{{\frac{{ - 3479}}{{3721}}}} \) \( = \frac{{1320}}{{3479}}\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) \) \( = \frac{{\tan \frac{{3\pi }}{4} - \tan 2\alpha }}{{1 + \tan \frac{{3\pi }}{4}.\tan 2\alpha }} \) \( = \frac{{ - 1 - \frac{{1320}}{{3479}}}}{{1 + \left( { - 1} \right).\frac{{1320}}{{3479}}}} \) \( = \frac{{ - 4799}}{{2159}}\).
Chương VI. Bảo vệ môi trường
A. KHÁI QUÁT NỀN KINH TẾ - XÃ HỘI THẾ GIỚI
Chủ đề 2. Sóng
CHƯƠNG III. DÒNG ĐIỆN TRONG CÁC MÔI TRƯỜNG
Unit 6. World heritages
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11