Bài 2 trang 32

Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:

a) \({5^{2n}} - 1\) chia hết cho 24.

b) \({n^3} + 5n\) chia hết cho 6.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({5^2} - 1 = 24\) chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({5^{2(k + 1)}} - 1\) chia hết cho 24.

Thật vậy, ta có

\({5^{2(k + 1)}} - 1 = {5^{2k + 2}} - 1 = {25.5^{2k}} - 25 + 24 = 25.\left( {{5^{2k}} - 1} \right) + 24\)

Chia hết cho 24 do \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 5.1 = 6\) chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({k^3} + 5k\) chia hết cho 6.

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 5(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 5k + 5\\ = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3({k^2} + k) + 6 = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3k(k + 1) + 6\end{array}\)

Mà \(k \ge 1\) nên \(k(k + 1) \vdots 2 \Rightarrow 3k(k + 1) \vdots 6\)

Do đó \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).