Bài 2 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất

hai ẩn sau:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x - 2y \ge  - 6\\2x + y \le 10\end{array} \right.\)

b) Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=2x +3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất)của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (là một miền đa giác).

- Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác.

- Tính giá trị của biểu thức f=2x+3y với (x,y) là tọa độ các đỉnh của đa giác sau đó so sánh để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a)  - Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thoả mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).

- Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thoả mãn 1> 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm  (0; 1) (miền không bị gạch).

- Bước 3: Vẽ đường thẳng : 3x - 2y = -6. Lấy điểm O(0;0) không thuộc , và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x - 2y ta được: 3.0 – 2.0 = 0>-6. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x - 2y = -6 là nửa mặt phẳng bờ, chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).

- Bước 4: Vẽ đường thẳng : 2x + y = 10 và điểm O(0; 0) thoả mãn 2.0 + 0 =0 < 10. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x + y = 10 là nửa mặt phẳng bờ  chứa điểm O(0, 0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm D của hệ là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:

b) Ta có: F(0;0)=2.0 + 3.0= 0; F(0;3)=2.0 + 3.3= 9

F(2;6)=2.2 + 3.6= 22; F(5;0)=2.5 + 3.0= 10

Vậy trên miền D: giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y)=2x +3y là 22 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y)=2x +3y là 0.