Bài 20 trang 97

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số được chọn là một số chẵn.

Lời giải chi tiết

23 số nguyên dương đầu tiên gồm các số từ 0 đến 22, trong đó có 11 số lẻ và 12 số chẵn.

Số cách chọn 3 số từ 23 số (không kể thứ tự) là: \(C_{23}^3\)

Tổng ba số là một số chẵn \( \Leftrightarrow \)Trong ba số, có 1 số chẵn và 2 số lẻ hoặc 3 số đều chẵn.

Trường hợp 1: Trong ba số có 1 số chẵn và 2 số lẻ

Số cách chọn 1 số chẵn là: 12 cách

Số cách chọn 2 số lẻ (trong 11 số lẻ) là: \(C_{11}^2\) cách

Vậy có \(12.C_{11}^2\) cách để chọn bộ ba số gồm 1 số chẵn và 2 số lẻ

Trường hợp 1: Cả ba số được chọn đều là số chẵn

Số cách chọn 3 số chẵn (trong 12 số chẵn) là: \(C_{12}^3\) cách

Vậy tổng số cách để chọn bộ ba số có tổng là số chẵn là: \(12.C_{11}^2 + C_{12}^3\)

\( \Rightarrow \) Xác suất để tổng ba số được chọn là một số chẵn là: \(\frac{{12.C_{11}^2 + C_{12}^3}}{{C_{23}^3}} = \frac{{880}}{{1771}} = \frac{{80}}{{161}}\)