Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi $(α)$ là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng AD² + BC² và AC² + BD² có giá trị không đổi.

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh $A D^{2} + B C^{2} = A C^{2} + B D^{2} = 4 R^{2}$

- Viết công thức tính diện tích tam giác BCD và suy ra GTLN.

- Nhận xét: H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông, từ đó suy ra quỹ tích.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC vuông tại A nên AD² = DC² – AC² (1)

Tam giác ABC vuông tại A nên BC² = AC² + AB² (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra AD² + BC² = DC² + AB² (3)

Ta lại có:

AC² = DC² – AD² và BD² = AD² + AB² (4)

DC² = 4(r² – h²) , AB² = 4h² (5)

Từ (4) và (5) ta có:

AC² + BD² =DC² + AB² = 4(r² – h²) + 4h² = 4r² (6)

Từ (3) và (6) ta có: AD² + BC² = AC² + BD²(không đổi)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD.

Diện tích tam giác BCD bằng $S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} B H . D C$

Ta thấy, $B H \leq B I$ không đổi nên $S_{B C D}$ đạt GTLN khi BH lớn nhất và bằng BI.

Tức là $B I ⊥ D C$ $\Rightarrow D C ⊥ (A B I) \Rightarrow D C ⊥ A I$

Vậy diện tích tam giác BCD lớn nhất khi AI $⊥$ CD.

c) Ta có

${\begin{cases} A B ⊥ C D \\ B H ⊥ C D \end{cases}$ $\Rightarrow C D ⊥ (A B H) \Rightarrow C D ⊥ A H$

$\Rightarrow \hat{A H I} = 90^{0}$

Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông.

Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng $(α)$ .

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề toán tổng hợp chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024