Bài 2.24 trang 76 SBT đại số và giải tích 11

Một lớp có $$ học sinh. Tính số cách phân công $$ bạn quét sân trường và $$ bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

Phương pháp giải:

Ta có: $$ là $$ nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động:

- Hành động thứ nhất là cách chọn $$ bạn từ $$ bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn $$ bạn từ $$ bạn.

$$ là $$ nghĩa là quy tắc nhân của hai hành động

- Hành động thứ nhất là cách chọn $$ bạn từ $$ bạn

- Hành động thứ hai là cách chọn $$ bạn từ $$ bạn.

Từ đó ta rút ra được hai cách để phân công các bạn đi làm việc

- Cách thứ nhất là chọn $$ bạn trong $$ bạn trước rồi chọn $$ bạn quét sân, $$ bạn kia sẽ xén cây.

- Cách thứ hai là chọn  luôn $$ bạn trong $$ bạn quét sân, và $$ trong $$ bạn còn lại xén cỏ.

Để tính số cách chọn ra $$ bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Cách thứ nhất: Chọn $$ bạn nam trong $$ bạn để làm trực nhật. Có $$ cách.

Khi đã chọn được $$ bạn rồi, chọn $$ trong $$ bạn đó để quét sân. Có $$ cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có $$ cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn $$ trong $$ bạn để quét sân, sau đó chọn $$ trong $$ bạn còn lại để xén cây. Vậy có $$ cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

Chứng minh công thức Niu-tơn

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $$ để chứng minh công thức Niu-tơn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $$

Cách khác:

Xét bài toán: Một lớp có n học sinh. Tính số cách để chọn ra r bạn trực nhật mà có k bạn quét sân và r-k bạn xén cây.

Giải:

Cách 1:

Số cách chọn ra r bạn trong n bạn là $$

Số cách chọn ra k trong r bạn để quét sân là $$.

Sau khi chọn xong k bạn quét sân thì các bạn còn lại tự động vào nhóm xén cây nên có 1 cách.

Do đó có $$ cách chọn.

Cách 2:

Số cách chọn k bạn để quét sân trong số n học sinh của lớp là $$.

Số cách chọn r-k bạn xén cây trong số n-k bạn còn lại là $$.

Theo quy tắc nhân có $$ cách chọn.

Vậy $$

Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $$ để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $$; $$; $$; $$ (tận cùng là $$);...

Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng $$; $$;...$$ đều có tận cùng là chữ số $$. Vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có $$ (tận cùng là $$). Do đó chữ số ở  hàng đơn vị của $$ là $$.