Bài 2.32 trang 63 SBT hình học 12

Đề bài

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng $\frac{r}{2}$ . Tính diện tích thiết diện thu được.

c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu nếu $d\left(I,\Delta \right)=R$.

b) Xác định hình dáng thiết diện và suy ra diện tích.

c) Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

a) Vì các mặt đáy của hình trụ vuông góc với trục OO’ tại O và O’ nên chúng tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO’.

Gọi I là trung điểm của đoạn OO’. Ta có I là tâm của mặt cầu.

Kẻ IM vuông góc với một đường sinh nào đó (M nằm trên đường sinh) ta đều có IM = r là bán kính của mặt trụ đồng thời điểm M cũng thuộc mặt cầu.

Vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

b) Trên mặt đáy tâm O ta gọi H là trung điểm của bán kính OP.

Qua H kẻ dây cung AB⊥OP và nằm trong đáy (O; r).

Thiết diện cần tìm là một hình chữ nhật ABCD.

Gọi S là diện tích hình chữ nhật này, ta có: SABCD = AB.AD trong đó AD = 2r còn AB = 2AH.

Vì H là trung điểm của OP nên ta tính được $AB=r\sqrt{3}$.

Vậy $S_{ABCD}=2r^2\sqrt{3}$.

c) Đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính OO’ và mặt phẳng (ABCD) có bán kính bằng $\frac{AB}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$.

Đường tròn này có tâm là tâm của hình chữ nhật ABCD và tiếp xúc với hai cạnh AD, BC của hình chữ nhật đó.