Bài 2.59 trang 131 SBT giải tích 12

\(\displaystyle {3^{|x - 2|}} < 9\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {3^{|x - 2|}} < 9\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {3^{|x - 2|}} < {3^2} \Leftrightarrow |x - 2| < 2\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 2 < x - 2 < 2\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 0 < x < 4\)

\(\displaystyle {4^{|x + 1|}} > 16\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {4^{|x + 1|}} > 16\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {4^{|x + 1|}} > {4^2} \Leftrightarrow |x + 1| > 2\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 > 2\\x + 1 <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{ - {x^2} + 3x}} < {2^2}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow  - {x^2} + 3x < 2\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{ - 1}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x \le  - 1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 \le 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1\)

\(\displaystyle {11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow\sqrt {x + 6}  \ge x\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 6 \ge 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 6 \ge {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 6\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - x - 6 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 \le x < 0\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 \le x < 0\\0 \le x \le 3\end{array} \right.\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 6 \le x \le 3\)

\(\displaystyle {2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {2^{2x}}{.2^{ - 1}} + {2^{2x}}{.2^{ - 2}} + {2^{2x}}{.2^{ - 3}} \ge 448\\
\Leftrightarrow {2^{2x}}.\frac{1}{2} + {2^{2x}}.\frac{1}{{{2^2}}} + {2^{2x}}.\frac{1}{{{2^3}}} \ge 448
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2x}} + \frac{1}{4}{.2^{2x}} + \frac{1}{8}{.2^{2x}} \ge 448\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){.2^{2x}} \ge 448\\
\Leftrightarrow \frac{7}{8}{.2^{2x}} \ge 448
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge 512\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge {2^9} \) \( \Leftrightarrow 2x \ge 9\) \(\Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\)

\(\displaystyle {16^x} - {4^x} - 6 \le 0\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{16^x} - {4^x} - 6 \le 0\\
\Leftrightarrow {4^{2x}} - {4^x} - 6 \le 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{4^x}} \right)^2} - {4^x} - 6 \le 0
\end{array}\)

Đặt \(\displaystyle t = {4^x} > 0\), ta có:

\({t^2} - t - 6 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3\)

Kết hợp \(t > 0\) ta được \(0 < t \le 3\)

\(\displaystyle  \Rightarrow  0 < {4^x} \le 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow x \le {\log _4}3\). 

\(\displaystyle \frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số và sử dụng tính chất so sánh:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} - 3 < 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - {{3.3}^x} + 6}}{{{3^x} - 2}} < 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{ - {{2.3}^x} + 6}}{{{3^x} - 2}} < 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {{3^x} - 3} \right)}}{{{3^x} - 2}} < 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - 3}}{{{3^x} - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 3\\{3^x} < 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\)