Bài 28 trang 31 SBT toán 8 tập 1

Chứng minh \(\displaystyle{1 \over x} - {1 \over {x + 1}} = {1 \over {x\left( {x + 1} \right)}}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức :

\(\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \left( {\dfrac{{ - C}}{D}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái :

\(\displaystyle{1 \over x} - {1 \over {x + 1}} = {{x + 1} \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {{ - x} \over {x\left( {x + 1} \right)}} \) \(\displaystyle= {{x + 1 - x} \over {x\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x\left( {x + 1} \right)}}\)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

Đố. Đố em tính nhẩm được tổng sau :

\(\displaystyle{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + {1 \over {x + 5}}\) 

Phương pháp giải:

Dựa vào kết quả câu a) để phân tích mỗi phân thức thành một hiệu hai phân thức thích hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + {1 \over {x + 5}}\)

\(\displaystyle = {1 \over x} - {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {x + 2}} - {1 \over {x + 3}} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 4}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {x + 4}} - {1 \over {x + 5}} + {1 \over {x + 5}} \)

\(\displaystyle= {1 \over x}\)