Giải bài 3.12 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s. Một tàu thủy nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu.

d) Tính khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km)

Lời giải chi tiết

a) Gọi vị trí của tàu là M.

\( \Rightarrow \) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là MB – MC.

MB = t. 292 000 (km) (t là số giây để tàu thủy nhận được tín hiệu từ trạm B)

MC = (t – 0,0005). 292 000 (km)

\( \Rightarrow \) MB – MC = 0,0005. 292 000 = 146 (km)

b) Tương tự, hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm D, A là:

0,001. 292 000 = 292 (km)

c)

+ Gọi PTCT của hypepol H1 đi qua M, nhận B (-1;0) và C (1;0) làm tiêu điểm là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(c = 1\)

Khi đó độ dài trục thực là MB – MC = 2a, tương ứng 1,46 trên hệ trục tọa độ.

\( \Rightarrow a = 0,73 \Rightarrow {b^2} = 0,4671\)

PTCT của hypebol H1 là \(\frac{{{x^2}}}{{0,{{73}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{0,4671}} = 1\)

+ Gọi PTCT của hypepol H2 đi qua M, nhận A (-3;0) và D (3;0) làm tiêu điểm là \(\frac{{{x^2}}}{{a{'^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{b{'^2}}} = 1\)

Ta có: \(c' = 3\)

Khi đó độ dài trục thực là MA – MD = 2a’, tương ứng 2,92 trên hệ trục tọa độ.

\( \Rightarrow a = 1,46 \Rightarrow {b^2} = 6,8684\)

PTCT của hypebol H2 là \(\frac{{{x^2}}}{{1,{{46}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{6,8684}} = 1\)

+ Tọa độ M là giao điểm của hai hypebol H1 và H2 (\({x_M},{y_M} > 0\))

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{0,{{73}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{0,4671}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{1,{{46}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{6,8684}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2,729\\{y^2} = 1,92494\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1,65197\\{y_M} = 1,38742\end{array} \right.\)

Vậy M có tọa độ (1,65197; 1,38742)

d)

Cách 1:

\(\begin{array}{l}MB = \left| {a + \frac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {0,73 + \frac{1}{{0,73}}.1,65197} \right| \approx 2,99 = 299\;(km)\\MC = \left| {a - \frac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {0,73 - \frac{1}{{0,73}}.1,65197} \right| \approx 1,53 = 153\;(km)\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}MB = \sqrt {{{(1,65197 - ( - 1))}^2} + 1,{{38742}^2}}  \approx 2,99 = 299km\\MC = \sqrt {{{(1,65197 - 1)}^2} + 1,{{38742}^2}}  \approx 1,53 = 153km\end{array}\)