Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 84 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD\) \((AB// CD)\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(I,\) hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng \(KI\) là đường trung trực của hai đáy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

+) Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thang cân nên: 

\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\cr 
& \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KCD} \cr} \) 

\(⇒ ∆ KCD\) cân tại \(K\)

\(⇒ KD = KC\) (tính chất)

\(⇒ KA + AD = KB + BC\)

Mà \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

\(⇒ KA = KB\)

Xét \(∆ ADC\) và \(∆ BCD \) có:

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân)

\(CD\) cạnh chung

Do đó: \(∆ ADC = ∆ BCD\;\;\; (c.c.c)\)

\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)

\(⇒ ∆ IDC\) cân tại \(I\)

\(⇒ IC = ID\) nên \(I\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(KC = KD\) nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(CD.\)

Lại có: \(BD = AC\) (tính chất hình thang cân)

\(⇒ IB + ID = IA + IC\) mà \(ID = IC\)  (chứng minh trên)

\(⇒ IB = IA\) nên \(I\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\( KA = KB\) ( chứng minh trên) nên \(K\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(AB.\)