Bài 32 trang 83 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

\(a)\) Hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB = b,\) đáy lớn \(CD = a,\) đường cao \(AH.\)Chứng minh rằng \(HD=\dfrac{a-b}{2},\) \(HC=\dfrac{a+b}{2},\) (\(a\) và \(b\) có cùng đơn vị đo)

\(b)\) Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy \(10cm,\) \(26cm\) và cạnh bên \(17cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức: 

+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+) Sử dụng định lí: Py-ta-go

Lời giải chi tiết

\(a)\) Kẻ đường cao \(BK\)

Xét hai tam giác vuông \(AHD\) và \(BKC,\) ta có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\) 

\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

\(\widehat D = \widehat C\)  (do ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD)

Do đó: \(∆ AHD = ∆ BKC\) (cạnh huyền- góc nhọn)

\(⇒ HD = KC\)

Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD nên \(AB//CD\) hay \(AB//HK\). Suy ra \(ABHK\) là hình thang. 

Ta có: \(AH//BK\) (cùng vuông góc với \(CD\))

Hình thang \(ABKH\) có hai cạnh bên \(AH,\;BK\) song song nên \(AB = HK\)

\(a−b = DC – AB = DC – HK\)\( = HD + KC = 2HD\)

\( \Rightarrow HD =\displaystyle {{a - b} \over 2}\)

\(HC = DC-HD = a - \displaystyle{{a - b} \over 2}\)\( = \displaystyle{{a + b} \over 2}\)

\( b)\) \(HD = \displaystyle{{CD - AB} \over 2}\)\( = \displaystyle{{26 - 10} \over 2} = 8\left( {cm} \right)\)

Trong tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {AHD} = {90^0}\)

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\) (định lí Py-ta-go)

\(\eqalign{
& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \cr 
& \Rightarrow A{H^2} = {17^2} - {8^2} = 289 - 64 = 225 \cr 
& \Rightarrow AH = 15(cm) \cr} \)