Giải bài 3.25 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho \(MA = MB\)

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho \(MA = MB\).

\( \Rightarrow {x_A} + {x_B} = 2{x_M} = 4;{y_A} + {y_B} = 2{y_M} = 2.\)

A, B thuộc elip nên \(\frac{{{x_A}^2}}{{25}} + \frac{{{y_A}^2}}{{16}} = 1 = \frac{{{x_B}^2}}{{25}} + \frac{{{y_B}^2}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_A}^2}}{{25}} - \frac{{{x_B}^2}}{{25}} + \frac{{{y_A}^2}}{{16}} - \frac{{{y_B}^2}}{{16}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}}{{25}} + \frac{{2\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}}{{16}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_A} - {x_B}}}{{25}} =  - \frac{{{y_A} - {y_B}}}{{32}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {{x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B}} \right) = k\left( {25; - 32} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  VTPT của d là \(\overrightarrow n (32;25)\)

PT đường thẳng d qua M(2;1) nhận \(\overrightarrow n (32;25)\) làm VTPT là:

\(32(x - 2) + 25(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 32x + 25y - 89 = 0\)