Bài 3.33 trang 130 SBT hình học 12

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\)  và \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)  và  \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\)

c)  \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - t}\\{y = 3t}\\{z =  - 1 - 2t}\end{array}} \right.\)  và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}}  = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = (3;2;2)\)

Suy ra  \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = ( - 2;7; - 4)\)

Ta có \({M_0}( - 1;1; - 2) \in d,{M_0}'(1;5;4) \in {\rm{d'}}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  = (2;4;6)\)

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'}  =  - 4 + 28 - 24 = 0\).

Vậy đường thẳng \(d\) và \(d’\) đồng phẳng và khác phương, nên \(d\) và \(d’\) cắt nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = (1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = (2;2; - 2).{M_0}(0;1;2) \in d\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 2\overrightarrow {{u_d}} }\\{{M_0} \notin d'}\end{array}} \right.\) (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = ( - 1;3; - 2)\)

d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = (0;0;5)\)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = (15;5;0) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có \({M_0}(0;0; - 1) \in d\)

\(M{'_0}(0;9;0) \in d'\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = (0;9;1),\) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = 45 \ne 0\)

Vậy \(d\) và \(d’\) là hai đường thẳng chéo nhau.