Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
LG a
Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết có
\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được
\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)
Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}.\)
LG b
Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.
Phương pháp giải:
Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\\
\Rightarrow {u_n} - 1 = {x_n}\left( {{u_n} + 3} \right)\\
\Leftrightarrow - 1 - 3{x_n} = {u_n}\left( {{x_n} - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = \frac{{ - 1 - 3{x_n}}}{{{x_n} - 1}} = \frac{{3{x_n} + 1}}{{1 - {x_n}}}\\
= \frac{{3.\left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right] + 1}}{{1 - \left[ { - \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}} \right]}}\\
= \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}
\end{array}\)
Bài 8. Lợi dụng địa hình, địa vật
Chuyên đề 2. Lí thuyết đồ thị
Chương III. Điện trường
Chương 4. Chiến tranh bảo vệ tổ quốc và chiến tranh giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước cách mạng tháng Tám năm 1945)
Chương 5: Dẫn xuất halogen - Ancohol - Phenol
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11