Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên \(SA = SB = SC = S{\rm{D}} = a\sqrt 2 \). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên \(SK \bot BC\).

Ta có

\(\left. \matrix{
BC \bot SK \hfill \cr
BC \bot OK \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SIK} \right)\)

Do đó \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SIK} \right)\)

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có \(\left( {SIK} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức \(IM.SK = SO.IK\), ta có \(IM = {{SO.IK} \over {SK}}\).

Ta lại có: \(S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 2{{\rm{a}}^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{7{a^2}} \over 4} \Rightarrow SK = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

Và \(S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = 2{{\rm{a}}^2} - {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}\)

\(\Rightarrow SO = {{a\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

Do đó: \(IM = {{SO.IK} \over {SK}} = {{a\sqrt 6 } \over 2}.a:{{a\sqrt 7 } \over 2} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng \({{a\sqrt {42} } \over 7}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024