Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}.\)
LG a
Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)
\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)
\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)
\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)
Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)
LG b
Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải:
- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.
Lời giải chi tiết:
Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)
Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)
Chứng minh :
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.
Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).
Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)
\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
CHƯƠNG VIII: DẪN XUẤT HALOGEN. ANCOL - PHENOL
Bài 17: Phenol
Chương 2. Chủ nghĩa xã hội từ năm 1917 đến nay
Unit 6. World heritages
Chương 4. Đại Cương Về Hóa Học Hữu Cơ
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11