Bài 38 trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Dựng hình vuông \(ABCD,\) biết đỉnh \(A,\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) và điểm \(N\) thuộc cạnh \(CD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.) 

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải chi tiết

Phân tích:

Giả sử hình vuông \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh \(C.\) Đỉnh \(C\) thỏa mãn \(2\) điều kiện:

+) \(\widehat {MCN} = 90^\circ \) nên \(C\) nằm trên cung chứa góc \(90^\circ\) dựng trên \(MN.\)

+) Ta có \(\widehat {ACM} = 45^\circ \) (vì hình vuông có đường chéo là phân giác) nên \(C\) nằm trên cung chứa góc \(45^\circ\) vẽ trên \(AM.\)

Cách dựng: 

− Dựng cung chứa góc \(90^\circ\) trên đoạn \(MN.\)

− Dựng cung chứa góc \(45^\circ\) trên đoạn \(AM.\)

Hai cung cắt nhau tại \(C,\) nối \(CM, CN.\)

Kẻ \(AB ⊥ CN\) tại \(B, AD ⊥ CN\) tại \(D.\)

Ta có tứ giác \(ABCD\) là hình vuông cần dựng.

Chứng minh:

Thật vậy theo cách dựng ta có: \(\widehat C = 90^\circ ,\widehat B = 90^\circ ,\widehat D = 90^\circ \)

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, có điểm \(M\) thuộc \(BC,\) điểm \(N\) thuộc \(CD.\) \(AC\) là phân giác của \(\widehat C.\)

Vậy: tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.