Trong không gian Oxyz cho một vecto $\vec{a}$ tùy ý khác vecto $\vec{0}$ . Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\vec{a}$ →. Chứng minh rằng: $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng véc tơ đơn vị $\vec{a_{0}}$ cùng hướng với vecto $\vec{a}$

- Dựng điểm $A_{0}$ sao cho $\vec{O A_{0}} = \vec{a_{0}}$ và các điểm $A_{1}, B_{2}, C_{3}$ lần lượt là hình chiếu của $A_{0}$ lên các trục tọa độ.

- Tính cosα,cosβ,cosγ và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi $\vec{a_{0}}$ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto $\vec{a}$ , ta có $\vec{a_{0}} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ .

Gọi $\vec{O A_{0}} = \vec{a_{0}}$ và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có: $\frac{| \vec{O A_{1}} |}{| \vec{O A_{0}} |} = \cos α, \frac{| \vec{OA_{2}} |}{| \vec{OA_{0} |}} = \cos β, \frac{| \vec{OA_{3}} |}{| \vec{OA_{0}} |} = \cos γ$

Vì $| \vec{O A_{0}} | = 1$ nên $| \vec{O A_{1}} | = \cos α, | \vec{OA_{2}} | = \cos β, | \vec{OA_{3}} | = \cos γ$

Ta có $\vec{O A_{0}} = \vec{OA_{1}} + \vec{OA_{2}} + \vec{OA_{3}}$ , ta suy ra: $\vec{O A_{0}} = \cos α \vec{i} + \cos β \vec{j} + \cos γ \vec{k}$ hay $\vec{O A_{0}} = (\cos α; \cos β; \cos γ)$ .

Vì $\vec{O A_{0}} = \vec{a_{0}}$ mà $| \vec{a_{0}} | = 1$ nên ta có: $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1$

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Bài 3. Phương trình đường thẳng

Ôn tập chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian

Đề toán tổng hợp chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024