Bài 4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn $$ và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.

3. Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính BB’.

Do B, C cố định trên (O) nên B’, C cũng cố định trên (O).

Suy ra $$ là vectơ không đổi.

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra $$

Mà $$  (do H là trực tâm của ∆ABC).

Do đó $$

Chứng minh tương tự, ta được $$

Từ (1), (2), suy ra tứ giác AHCB’ là hình bình hành.

Suy ra $$

Mà $$  (chứng minh trên).

Vì vậy $$

Do đó $$.

Vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua $$.