Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(3;0)\) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho \(N{F_1} = N{F_2}\)

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho \(S{F_1} = 2S{F_2}\)

Lời giải chi tiết

Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) có \(a = 3,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2 \)

a) + Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

+ Bán kính qua tiêu của \(M(3;0)\): \(M{F_1} = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 + 2\sqrt 2 ,\;M{F_2} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 - 2\sqrt 2 .\)

b) \(N{F_1} = N{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 0 \Leftrightarrow {x_N} = 0 \Rightarrow {y_N} =  \pm 1\)

Vậy \(N(0;1)\) hoặc \(N(0; - 1)\)

c) \(S{F_1} = S{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 2\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 3 \Leftrightarrow {x_S} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow {y_S} =  \pm \sqrt {1 - \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}}{9}}  =  \pm \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Vậy \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\) hoặc \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\)