Bài 41 trang 101 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao $2m$ và đặt xa cây $15m$. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc $0,8m$ thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân tới mắt người ấy là $1,6m$?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng tính chất hai tam giác đồng dạng.

- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều cao của cây là $AC$ (h.49), chiều cao cọc $E{E}^{\prime }=2m$, chiều cao từ mắt đến chân người $D{D}^{\prime }=1,6m$; khoảng cách giữa cọc và cây là $AE=15m$, khoảng cách giữa cọc và chân người đứng là $De=0,8m$. 

Ta phải tính $AC$.

Các tam giác $BD{D}^{\prime },BE{E}^{\prime }$ và $BAC$ là các tam giác vuông có góc nhọn $B$ chung, do đó chúng đồng dạng với nhau.

Từ $\mathrm{\Delta }BD{D}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }BE{F}^{\prime }$ ta có: ${\displaystyle \frac{BD}{BE}}={\displaystyle \frac{D{D}^{\prime }}{E{E}^{\prime }}}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức (trừ mẫu cho tử và giữ nguyên mẫu)

Ta có:${\displaystyle \frac{BE-BD}{BE}}={\displaystyle \frac{E{E}^{\prime }-D{D}^{\prime }}{E{E}^{\prime }}}$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{ED}{BE}}={\displaystyle \frac{E{E}^{\prime }-D{D}^{\prime }}{E{E}^{\prime }}}$

Thay độ dài tương ứng đã cho biết vào biểu thức ta có:

${\displaystyle \frac{0,8}{BE}}={\displaystyle \frac{2-1,6}{2}}$$\Rightarrow BE={\displaystyle \frac{0,8.2}{0,4}}=4$

Từ $\mathrm{\Delta }BE{E}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }BAC$ ta có:

${\displaystyle \frac{BE}{BA}}={\displaystyle \frac{E{E}^{\prime }}{AC}}$ $\Rightarrow AC={\displaystyle \frac{BA.E{E}^{\prime }}{BE}}={\displaystyle \frac{\left(15+4\right).2}{4}}=9,5$.