Bài 4.2 trang 156 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hữu hạn không ?

Lời giải chi tiết

Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại,  \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số  \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn.

Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.