Bài 42 trang 84 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Sử dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình thang \(ABCD\) có \(AB // CD,\) \(AB < CD.\)

\(I, K\) lần lượt là trung điểm hai đường chéo \(BD, AC\)

Gọi \(F\) là trung điểm của \(BC\)

Trong tam giác \(ACB\) ta có:

\(K\) là trung điểm của cạnh \(AC\)

\(F\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

Nên \(KF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)

\(⇒ KF // AB\) và \(KF = \displaystyle{1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong tam giác \(BDC\) ta có:

\(I\) là trung điểm của cạnh \(BD\)

\(F\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

Nên \(IF\) là đường trung bình của \(∆ BDC\)

\(⇒ IF // CD\) và \(IF = \displaystyle {1 \over 2}CD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(FK // AB\) mà \(AB // CD\) nên \(FK // CD\)

\(FI // CD\) (chứng minh trên)

Suy ra hai đường thẳng \(FI\) và \(FK\) trùng nhau.

\(⇒ I, K, F\) thẳng hàng

Lại có \(AB < CD\)\( ⇒\dfrac{AB}2<\dfrac{CD}2 ⇒ FK < FI\) nên \(K\) nằm giữa \(I\) và \(F\)

\(IF = IK + KF\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow IK = IF - KF \cr 
& = \displaystyle{1 \over 2}CD - {1 \over 2}AB = {{CD - AB} \over 2} \cr} \)