Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\), tam giác \({T_3}\) đồng dạng với tam giác \({T_2}\), …, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}{\rm{ }}\left( {k > 1} \right)\). Khi \(n\) tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo \(k\).

2. Phương pháp giải

Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\).

Do \(\frac{1}{{{k^2}}} < 1\), nên ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\) là cấp số nhân. Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

3. Lời giải chi tiết

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\).

Nhận xét rằng hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\). Có nghĩa là, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) theo tỉ số \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích tam giác \({T_n}\) với tam giác \({T_{n - 1}}\) là \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{k^2}}}\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và \(q = \frac{1}{{{k^2}}}\).

Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng này có giá trị là \(S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{k^2} - 1}}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024