Bài 4.32 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right).\)

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b \) khi đó \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Nhận thấy \(O{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100 = O{B^2}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta OAB\) là tam giác vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB}  = 0\) hay \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

a)      Ta có: \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {\overrightarrow a ^2} = 36.\)

b)     Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,36 = 6.10.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{3}{5}\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \approx {53^ \circ }\end{array}\)