Bài 4.46 trang 209 SBT giải tích 12

Đề bài

Số nào sau đây là số thuần ảo?

A. \(\dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^3}}}\)

B. \({\left( {1 + i} \right)^5} + {\left( {1 - i} \right)^5}\)

C. \(\dfrac{{1 + i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}\)

D. \(\dfrac{{3 + 2i}}{{2 - i}} - \dfrac{{3 - 2i}}{{2 + i}}\)

Lời giải chi tiết

Đáp án A:

\(\dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^3}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^4}.\left( {1 + i} \right)}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}.\left( {1 - i} \right)}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {2i} \right)}^2}\left( {1 + i} \right)}}{{\left( { - 2i} \right)\left( {1 - i} \right)}}\) \( = \dfrac{{ - 4\left( {1 + i} \right)}}{{ - 2\left( {1 + i} \right)}} = 2\) nên A sai.

Đáp án B:

\({\left( {1 + i} \right)^5} + {\left( {1 - i} \right)^5}\)\( = {\left( {1 + i} \right)^4}.\left( {1 + i} \right) + {\left( {1 - i} \right)^4}.\left( {1 - i} \right)\) \( = {\left( {2i} \right)^2}\left( {1 + i} \right) + {\left( { - 2i} \right)^2}\left( {1 - i} \right)\)

\( =  - 4\left( {1 + i} \right) - 4\left( {1 - i} \right)\) \( =  - 4 - 4i - 4 + 4i =  - 8 \in \mathbb{R}\)

B sai.

Đáp án C:

\(\dfrac{{1 + i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2} + {{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} = \dfrac{{2i - 2i}}{{1 + 1}} = 0\) nên C sai.

Đáp án D:

\(\dfrac{{3 + 2i}}{{2 - i}} - \dfrac{{3 - 2i}}{{2 + i}}\)\( = \dfrac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {2 + i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 - 2 + 7i - 6 + 2 + 7i}}{{4 + 1}} = \dfrac{{14}}{5}i\)

Chọn D.