Giải bài 4.56 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(BM = 2MC,\,\,CN = 2NA\) và \(AM \bot NP.\) Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{12}}\)

B. \(\frac{7}{{12}}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{7}{5}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(AP = x\) \(\left( {0 < x < 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}.\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{{2x}}{3}.\frac{1}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{{18}} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(1 - 6x + 4 - 6x = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(12x = 5\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{5}{{12}}\)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\)

Chọn A.