Giải bài 4.67 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = (1;2),\,\,\overrightarrow b  = (3; - 4),\,\,\overrightarrow c  = ( - 5;3).\)

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow b .\overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow c .\overrightarrow a \)

b) Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.3 + 2\left( { - 4} \right) = 3 - 8 =  - 5\)

\(\overrightarrow b .\overrightarrow c  = 3\left( { - 5} \right) + \left( { - 4} \right).3 =  - 15 - 12 =  - 27\)

\(\overrightarrow c .\overrightarrow a  =  - 5.1 + 3.2 =  - 5 + 6 = 1\)

b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

\(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \left( {3; - 4} \right) + \left( { - 5;3} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = 1.\left( { - 2} \right) + 2\left( { - 1} \right) =  - 2 - 2 =  - 4\)

\( \Rightarrow \) \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{ - 4}}{5}\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \approx {143^ \circ }\)