Bài 47 trang 163 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) và đường thẳng \(d\) không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) sao cho tiếp tuyến đó song song với \(d.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa

mãn điều kiện bài toán.

− \(d_1\) là tiếp tuyến của đường tròn tại  \(A\) nên \(d_1\bot OA\)

− Vì \(d_1// d\) nên \(d\bot OA.\)

Vậy \(A\) là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng kẻ từ \(O\) vuông góc với \(d.\)

*        Cách dựng

− Dựng \(OH\) vuông góc với \(d\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(A\) và \(B.\)

− Dựng đường thẳng \(d_1\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(OA.\)

− Dựng đường thẳng \(d_2\) đi qua \(B\) và vuông góc với \(OB.\)

Khi đó \(d_1\) và \(d_2\) là hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: \(A\) và \(B\) thuộc \((O)\)

\(d_1//d\) mà \(d \bot OH\) nên \(d_1 \bot OH\) hay \(d_1 \bot  OA \) tại \(A\)

Suy ra \(d_1\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

\(d_2//d\)  mà \(d\bot  OH \) nên \(d_2\bot OH\) hay \(d_2\bot OB\) tại \(B\)

Suy ra \(d_2\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

*        Biện luận

Đường thẳng \(OH\) luôn cắt đường tròn \((O)\) nên giao điểm \(A\) và \(B\) luôn dựng được.