Bài 49 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang \(ABCD\) \((AB // CD),\) biết \(\widehat D = {90^0},\) \(AD = 2cm,\) \(CD = 4cm,\) \(BC = 3cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

Phân tích:

Giả sử hình thang \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta thấy \(∆ ADC\) xác định được vì biết \(AD = 2cm,\) \(\widehat D = {90^0},\) \(DC = 4cm.\) Ta cần xác định đỉnh \(B.\) Đỉnh \(B\) thỏa mãn hai điều kiện:

- \(B\) nằm trên tia \(Ax // CD.\)

- \(B\) cách \(C\) một khoảng bằng \(3cm.\)

Cách dựng:

- Dựng \(∆ ADC\) biết \(AD = 2cm,\) \(\widehat D = {90^0},\) \(DC = 4cm.\)

- Dựng \(Ax ⊥ AD\)

- Dựng cung tròn tâm \(C\) bán kính bằng \(3cm,\) cắt \(Ax\) tại \(B.\)

Nối \(BC\) ta có hình thang \(ABCD\) dựng được.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có: \(AB // CD,\) \(\widehat D = {90^0}\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông.

Lại có \(AD = 2cm,\) \(CD = 4cm,\) \(BC = 3cm.\)

Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: \(∆ ADC\) dựng được, hình thang \(ABCD\) luôn dựng được.

Bài toán có hai nghiệm hình.